오일러: 수학의 거장, 해석학과 수론편

레온하르트 오일러는 18세기 스위스의 수학자이자 물리학자로서 해석학, 수론, 그래프 이론 등의 수학과 천체 물리학, 역학에 이르기까지 광범위한 영역에 걸쳐 큰 족적을 남겼습니다.

레온하르트 오일러(1707-1783)

오일러의 삶 요약

오일러는 1707년 스위스 바젤에서 태어났으며 어린 시절부터 수학적 재능을 보였습니다. 1720년대에 오일러는 바젤 대학교에서 요한 베르누이에게 수학을 배웠고, 20세에 상트페테르부르크 아카데미에서 물리학과 수학을 연구하기 시작했습니다. 오일러는 두 번 결혼하여 13명의 자녀를 두었지만 단지 몇 명만이 살아서 성인이 되었습니다. 그는 초기 경력 동안 재정적으로 어려움을 겪었으나 상트페테르부르크 아카데미와 베를린 아카데미에서 중요한 역할을 얻어 수학, 천문학, 물리학 분야에서 활발하게 연구하면서 안정적 수입을 확보했습니다. 그는 해석학, 수론, 기하학 등 수학의 모든 분야에서 연구하였으며 천체 물리학과 기계학에도 이바지했습니다. 오일러는 다니엘 베르누이와 같은 당대의 다른 과학자들과 긴밀한 관계를 유지하며 평생 800편 이상의 논문과 책을 발표했습니다. "Introductio in analysin infinitorum"은 그의 대표적 저서 중 하나로, 해석학에 대한 입문서입니다. "오일러의 공식"은 복소수의 지수함수를 삼각함수로 연결하는 공식으로 가장 유명한 공식 중의 하나입니다. 오일러는 1783년 76세에 러시아 상트페테르부르크에서 뇌출혈로 세상을 떠났습니다. 생애 마지막 몇 시간 전까지 오일러는 문제를 풀고 있었다고 알려졌습니다. 오일러의 사망은 당시 학계와 수학계에 큰 손실로 여겨졌으며, 그의 기여와 업적은 오늘날에도 여전히 수학의 여러 분야에서 중요한 기초가 되고 있습니다.

 

오일러의 해석학

오일러는 e라는 상수를 도입하여 자연로그의 밑(base)을 정의하였는데 무한급수로 처음으로 계산되었고 미적분학과 지수 함수에 활용됩니다. 처음으로 e가 언급된 것은 17세기에 존 네이피어 등이 로그를 개발하면서 복리 계산과 로그함수의 연구로 e를 근사적으로 사용했습니다. 하지만 중요성이나 의미를 완전히 파악하지는 못했습니다. 1736년, 오일러는 e를 명확히 정의하고 자신의 저서에서 e를 다음 방식으로 정의합니다.

e = lim_n→∞(1 + 1/n)ⁿ

그는 e를 활용하여 자연로그를 발전시키는 과정에서 지수 함수와 로그 함수의 많은 성질을 발견하였습니다. 그 중 유명한 것이 e를 사용하여 복소수 지수 함수를 정의한 오일러 공식입니다.

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

복소수의 지수 함수를 삼각함수로 정의한 이 식은 파동 방정식, 양자역학, 전기공학 등 거의 모든 과학 연구에서 활용됩니다. e의 쓰임새를 몇 가지 알아 보겠습니다.

연속 복리 계산에서 투자 금액이 연속적으로 이자가 적용될 때 이자 포함 최종 금액은 다음 공식으로 계산됩니다. S는 원금, r은 연금리, t는 시간(년)입니다.

S = P⋅e^rt

 

생물학에서 e는 인구 성장, 방사성 물질의 붕괴, 자연적인 성장 및 감소를 모델링하는데 사용됩니다. 박테리아의 개체 성장을 다음과 같이 모델링할 수 있습니다.

N(t) = N₀⋅e^kt

여기서 N₀은 초기 개체 수,k는 성장률,t는 시간입니다.

복소수 지수 함수를 사용하여 전기공학에서 전자기파, 음파 등은 간단한 파동 식으로 표현됩니다.

f(t) = A⋅e^i(ωt+ϕ)

여기서 A는 진폭, ω는 각주파수, ϕ는 위상입니다.

 

오일러의 수론

수학 분야의 다양한 분야에서 두각을 나타낸 오일러가 수론에 있어서도 예외는 아닌데 정수론의 중요한 정리를 개발하고 증명하였습니다. 오일러 페르마 정리와 파이함수에 한정하여 다루지만 소수에 대한 연구와 이차 잉여도 향후 함께 다루도록 하겠습니다.

페르마의 소정리는 소수 p와 p와 서로 소인 어떤 정수 a에 대해 다음이 성립합니다

aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)

의미는 a를 p −1번 곱한 수를 p로 나눈 나머지가 1이 된다는 것을 의미합니다.

오일러는 페르마의 소정리를 모든 정수 n으로 확장한 오일러 페르마 정리를 제시했습니다. 이 정리는 n과 서로 소인 어떤 정수 a는 다음과 같습니다.

a^{ϕ( n)} ≡ 1 (mod n)

여기서 ϕ(n)은 오일러의 토션트 함수로 1부터 n까지의 정수 중 n과 서로 소인 수의 개수입니다. ϕ>(n)는 n보다 작거나 같은 양의 정수 중에서 n과 서로 소인 정수의 수를 계산합니다. 예로 n>=10, a>=3인 경우를 고려해 보겠습니다.

먼저,  토션트 함수 를 계산하면 ϕ(10)을 계산하면 10과 서로 소인 수는 1, 3, 7, 9이고 ϕ(10)=4입니다.

a^ϕ(n) = 3⁴ = 81

81/10 = 8.1이므로 나머지는 1

즉, 3⁴ ≡ 1 (mod 10)이 성립합니다. 결론으로 오일러 페르마 정리가 성립합니다.

이 정리의 몇 가지 용도 중에는 큰 수를 다루는 프로그램에서 효율적 연산 처리에 사용하여 컴퓨터는 수학적 연산의 부담을 줄입니다.

 

이외에도 오일러의 해석학과 수론 일부를 다루었지만 기하학, 천체물리학도 다루도록 하겠습니다.

 

수학계의 베토벤, 오일러 업적 요약

오일러는 수학, 물리학, 천문학, 역학 등 다양한 분야에서 활약한 18세기의 거장으로 당대뿐만 아니라 현대 과학과 수학에도 영향을 주었습니다. 그가 저술한  800편 이상의 논문과 저서는 해석학, 수론, 기하학, 천문학, 유체역학 등 모든 과학분야를 포함합니다. 특히, 오일러의 가장 중요한 업적 중 하나는 해석학이며 함수의 개념, 무한급수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수에 대한 현대적 기초를 마련했습니다. 오일러 공식은 자연로그(e),  복소수의 단위(i), 그리고 원주율(pi)을 사용한 복소수 해석학의 핵심입니다. 기하학 분야에서 오일러는 다면체 정리로 알려진 오일러의 공식, V - E + F = 2를 발견하였고 이 공식은 기하학뿐만 아니라 위상수학의 기초가 되는 공식으로 사용됩고 있습니다. 오일러는 뉴턴의 운동 법칙과 만유인력 법칙을 기반으로 달의 운동, 행성의 궤도 계산을 수행하였으며, 유체역학 분야에 오일러 방정식을 도입하여 유체 운동을 설명하는 기초를 마련했습니다. 그의 대표적 저서는 "Introductio in analysin infinitorum(무한 분석에 대한 소개)"이며  함수의 개념을 체계적으로 소개하고, 해석학 기초를 마련하였습니다. 또한, "Institutiones calculi differentialis(미분 계산의 기초)"에서는 미분 계산법을 체계적으로 다루었습니다. "Mechanica"는 역학의 기본 원리에 최초로 분석 방법을 적용하여 물체의 운동을 수학적으로 분석하였습니다. 오일러의 기하학적 발견으로 원과 관련된 문제에서 임의의 삼각형에 대해, 삼각형의 외심, 내심, 무게중심이 일직선 위에 위치한다는 "오일러 선"은 중요한 기하학적 발견입니다. 또한, 오일러는 거의 실명 상태에서도 수학 연구를 계속하였으며 복잡한 수학 계산을 생각으로 수행하였다고 합니다.