BCS 이론: 초전도의 미시적 세계 탐구

BCS 이론은 1957년 바딘, 쿠퍼, 슈리퍼에 의해 개발되었습니다. 이 이론은 전자들이 쿠퍼 쌍을 형성하고 이 쌍들이 저항 없이 전류를 운반하는 원리를 런던 방정식과 달리 미시적인 관점으로 규명합니다.

 

쿠퍼 쌍과 초전도 현상: BCS 이론 분석

BCS 이론은 1957년에 존 바딘(John Bardeen), 레온 쿠퍼(Leon Cooper), 로버트 슈리퍼(Robert Schrieffer)에 의해 밝혀졌으며 전자가 초전도체 내에서 어떻게 상호 작용하여 저항 없이 전류를 운반할 수 있는지를 제안합니다. BCS 이론은 물리학에서 중요한 발전으로 평가받아 1972년에 세 사람은 노벨 물리학상을 수상했습니다.

BCS 이론의 핵심 개념은 쿠퍼 쌍입니다. 쿠퍼 쌍은 두 전자가 약한 상호 작용을 통해 쌍을 이루는 현상으로 쿠퍼 쌍의 결합 에너지는 아래 수식으로 표현됩니다.

이 수식에서

• ΔE는 쿠퍼 쌍의 결합 에너지로 두 전자가 얼마나 강하게 서로 결합되어 있는지를 나타내는 에너지의 양입니다.
• ℏω_D​에서 ℏ는 플랑크 상수, ω_D​는 디바이 각진동수이며 초전도체 내에서 전자가 영향을 미치는 최대 진동수입니다.
• N(0)는페르미 에너지에서의 전자의 상태 밀도이며 주어진 에너지 레벨에서 전자가 존재할 수 있는 가능성입니다.
• V는 전자 간의 유효한 상호작용 강도로 전자들이 얼마나 강하게 서로 끌리는지를 나타냅니다.

쿠퍼 쌍의 결합 에너지 수식은 전자들이 어떻게 초전도 상태에서 결합하여 저항 없이 전류를 운반할 수 있는지를 수학적으로 설명하는데 수식의 지수 부분은 전자들이 결합할 확률과 관련이 있어 결합이 강할수록 ΔE는 더 크게 됩니다. 결합 에너지가 충분히 클 때 쿠퍼 쌍은 에너지 장벽 아래에 안정적으로 존재하며 초전도체가 전기를 저항 없이 전달할 수 있게 합니다. 즉, 이 수식은 전자들이 어떻게 특별한 방식으로 결합하여 초전도 현상을 만들어내는지를 알려 줍니다. 위의 설명이 난해하다면 좀 더 이해가 쉬운 설명입니다.

쿠퍼 쌍인 전자의 움직임

위의 그림에서 두 전자는 전하가 같아 당연히 서로 밀어냅니다. 따라서 서로 끌어당기는 것은 일어나기 어렵지만 실제 발생한다는 것이 쿠퍼 쌍입니다.  두 전자 간의 이러한 상호작용은 위의 그림의 빨간색 원의 구성인 원자 격자에서 전자1이 전자2를 끌어 당기는 인력과 같은 상태가 됩니다. 전자1은 서로 쿨롱 인력으로 인해 양전하인 원자핵을 전자1 쪽으로 약간 움직이며 격자를 지나값니다. 이 때 전자2는 전자1이 만들어 놓은 주변 양전하 밀도가 약간 더 높은 영역으로 당연히 끌어당겨집니다. 즉, 간접적으로 전자1에 끌립니다. 물론 배제 원리에 따라 쿠퍼 쌍의 두 전자는 반대 스핀을 가집니다. BCS 이론은 전자1과 전자2의 한 쌍의 전자라는 쿠퍼의 개념을 결자 내의 모든 자유전자에 적용합니다. 초전도 상태가 되면 모든 전자가 짝이 되고 이를 쿠퍼 쌍이라 합니다. 위의 그림에서 알 수 있듯이 원자 규모에서 쿠퍼 쌍인 전자1과 전자2는 매우 떨어져 있습니다. 이 전자들 사이에는 다른 전자도 있어 이 들도 멀리 떨어진 전자와 쿠퍼 쌍을 이룹니다. 따라서 개별 쿠퍼 쌍의 파동 함수 사이에는 많은 중첩이 존재하여 쿠퍼 쌍의 움직임은 연결된 듯한 관계가 형성됩니다. 군인들이 발맞추어 행진하듯 움직이게 됩니다.

 

쿠퍼 쌍을 이해하였다면 다음 단계를 위해 위해 페르미 기체을 이해하여야 합니다. 페르미 기체는 전자와 같은 입자들이 서로 상호 작용하지 않고 독립적으로 움직이는 이상적인 기체 모델로 페르미온이라 불리며, 두 입자가 같은 상태를 동시에 차지할 수 없다는 파울리 배타 원리에 지배됩니다. 페르미 준위는 페르미 기체 내에서 전자들이 차지할 수 있는 가장 높은 에너지 상태로 이 때의 에너지를 페르미 에너지라합니다. 절대 영도(−273.15°C, 0K)에서 페르미 준위는 매우 특별한데 모든 열적 운동이 정지한다고 가정하여 페르미온으로 구성된 시스템인 페르미 기체의 전자들도 가장 낮은 에너지 상태가 되며, 이 에너지 미만의 모든 상태는 전자로 꽉 차 있습니다. 즉, 페르미 준위는 전자가 채울 수 있는 가장 높은 레벨(단)이며, 이 단 아래는 모든 자리가 전자로 채워져 있습니다. 이 상태에서는 전자간의 전기적인 반발력이나 다른 입자와의 상호 작용도 없습니다. 복잡한 실제 상황을 단순화한 것입니다.

위 그림에서 알 수 있듯이 절대 온도 0K에서 초전도 전이에서 페르미 준위(페르미 에너지) 근처에서 전자의 상태 밀도(보라색 부분)가 급격하게 변화합니다. 에너지 갭의 우측선의 아래 공간에는 상태 밀도가 0입니다. 물론 이 때 초전도 에너지 갭은 최대 간격이 됩니다. 쿠퍼 쌍의 전자들은 에너지 갭 아래쪽을 점유합니다. 당연히 쿠퍼 쌍의 집합은 상호 작용하지 않는 전자의 페르미 기체보다 기저 상태 에너지가 낮기 때문에 주변에 에너지 갭이 나타납니다. 이 갭의 출현은 초전도 상태를 특징짓는 성질로 이 상태가 파괴되면 갭이 사라지고 상태 밀도는 자유 전자 기체의 밀도로 되돌아갑니다. 온도가 증가함에 따라  초전도체 내 전자의 상태 밀도는 에너지 갭 위의 쿠퍼 쌍 중 일부가 여기(즉, 두 개의 자유 전자로 분해)되어 상태 밀도가 감소합니다. 결국에는 상태 밀도가 0이 아닌 온도에서 일반 금속과 동일한 정상 상태로 돌아가 이 에너지 갭은 사라지고 상태 밀도는 자유 전자 기체의 밀도로 되돌아갑니다. 이를 바탕으로 좀 더 수학적으로 설명하면 아래와 같습니다.

 

쿠퍼 쌍이 형성되면, 초전도체 내에는 전자가 존재할 수 없는 에너지 갭이 발생합니다. 에너지 갭 Δ는 초전도 상태에서 전자들이 쿠퍼 쌍으로 결합되어 생기는 에너지의 최소 장벽입니다. 쿠퍼 쌍은 에너지가 이 갭보다 낮으면 저항 없이 자유롭게 움직입니다. 즉, 전자 에너지가 이 갭보다 높지 않으면 쌍이 깨지지 않고 안정적으로 존재합니다. 초전도 상태에서 이 갭은 전자들이 쉽게 에너지를 얻거나 잃지 못하게 막아 초전도체가 전기를 저항 없이 전달할 수 있는 이유 중 하나입니다. 이 갭이 충분히 크면, 외부에서 작은 에너지가 가해져도 쿠퍼 쌍이 깨지지 않으며 초전도 상태가 유지됩니다.

이 수식의 각 부분을 살펴보겠습니다:

• Δ는 에너지 갭의 크기로 단위는 eV입니다.
• exp⁡^(-1/(N(0)V))는 전자 간의 상호작용 강도(V)와 페르미 에너지에서의 전자 상태 밀도(N(0))에 따라 에너지 갭의 크기가 결정됩니다.

초전도체의 총 에너지는 다음과 같은 식으로 정의되는데 Esc는 초전도 상태의 에너지, E_N은 정상 상태의 에너지입니다. 이 식에서 초전도 상태가 일반 상태보다 에너지가 적어 안정적입니다.

BCS 이론은 저온 초전도체에 관한 이론적인 설명이 가능합니다. 그러나 고온 초전도체 현상은 BCS 이론으로 설명하기 어려워 새로운 이론들이 계속해서 연구되고 있습니다. BCS 이론은 물리학, 재료 과학, 전기공학 등 다양한 분야에서 초전도 현상을 이용하여 초전도 자석, 초전도 전송선, 초전도 저장장치 등의 설계와 개발에 응용됩니다.

 

런던 방정식과 BCS 이론의 차이점

런던 방정식과 BCS 이론은 초전도 현상을 설명하는 데 사용되는 이론으로 접근 방식과 설명 범위에 차이가 있습니다. 먼저 런던 방정식은 초전도체 내에서 자기장이 어떻게 배제되는 원리를 설명합니다. 즉, 초전도체가 어떻게 완전한 반자성체(자기장을 밀어내는 성질) 특성에 이르는지에 관한 거시적인 측면으로 자기적 성질을 이용하였으며, 또한, 초전도 상태의 전자가 생성하는 전류가 자기장을 어떻게 밀어내는지 규명합니다. 런던 방정식의 주요 내용입니다.

• 자기장이 초전도체 내부로 침투하지 못하고 표면 근처에서 급격히 감소한다.
• 초전도 상태에서의 전류 밀도와 자기장 간의 관계를 수학적으로 표현한다.

BCS 이론은 초전도 현상의 미시적인 메커니즘 이해에 바탕을 둡니다. 전자가 어떻게 쿠퍼 쌍을 형성하는지, 그리고 이 쌍이 어떻게 저항 없이 전류를 운반할 수 있는지에 관해 설명합니다. 더 나아가 초전도체의 전자 상태와 에너지 갭, 쿠퍼 쌍의 형성과정을 정량적으로 규명합니다. BCS 이론의 주요 내용입니다.

• 쿠퍼 쌍의 형성을 통해 초전도 상태가 어떻게 유지되는지 설명합니다.
• 초전도 현상이 발생하는 임계 온도와 이론적 배경을 설명합니다.
• 에너지 갭의 개념을 도입하여 초전도 상태에서의 전자의 에너지 상태를 설명합니다

두 이론은 각각 초전도 현상을 거시적 성질과 미시적 메커니즘으로 달리 다루어 현상을 이해하는 데 보완적인 관계에 있습니다.