오일러: 수학의 거장, 해석학과 수론편

레온하르트 오일러는 18세기 스위스의 수학자이자 물리학자로서 해석학, 수론, 그래프 이론 등의 수학과 천체 물리학, 역학에 이르기까지 광범위한 영역에 걸쳐 큰 족적을 남겼습니다. 수학이나 물리학을 공부하셨던 분 들이라면 오일러가 개척한 수학의 여러 분야를 힘들게 넘나 들었을 것이라 봅니다(^^;)

 

오일러의 공식: 오일러 공식에 '오일러'가 들어간 이유👆️

 

레온하르트 오일러(1707-1783)(출처: MacTutor Index )

 

오일러의 삶 요약

 

오일러는 1707년 스위스 바젤에서 태어났으며 어린 시절부터 수학적 재능을 보였습니다. 1720년대에 오일러는 바젤 대학교에서 요한 베르누이에게 수학을 배웠고, 20세에 상트페테르부르크 아카데미에서 물리학과 수학을 연구하기 시작했습니다. 오일러는 두 번 결혼하여 13명의 자녀를 두었지만 단지 몇 명만이 살아서 성인이 되었습니다. 그는 초기 경력 동안 재정적으로 어려움을 겪었으나 상트페테르부르크 아카데미와 베를린 아카데미에서 중요한 역할을 얻어 수학, 천문학, 물리학 분야에서 활발하게 연구하면서 안정적 수입을 확보했습니다. 그는 해석학, 수론, 기하학 등 수학의 모든 분야에서 연구하였으며 천체 물리학과 기계학에도 이바지했습니다. 오일러는 다니엘 베르누이와 같은 당대의 다른 과학자들과 긴밀한 관계를 유지하며 평생 800편 이상의 논문과 책을 발표했습니다. "Introductio in analysin infinitorum"은 그의 대표적 저서 중 하나로, 해석학에 대한 입문서입니다. "오일러의 공식"은 복소수의 지수함수를 삼각함수로 연결하는 공식으로 가장 유명한 공식 중의 하나입니다. 오일러는 1783년 76세에 러시아 상트페테르부르크에서 뇌출혈로 세상을 떠났습니다. 생애 마지막 몇 시간 전까지 오일러는 문제를 풀고 있었다고 알려졌습니다. 오일러의 사망은 당시 학계와 수학계에 큰 손실로 여겨졌으며, 그의 기여와 업적은 오늘날에도 여전히 수학의 여러 분야에서 중요한 기초가 되고 있습니다. 다음은 오일러의 주요 연혁입니다.

 

1707년 4월 15일: 스위스 바젤에서 탄생

1720년: 13세에 바젤 대학교에 입학

1726년: 학위 취득 및 논문 "De Sono"로 석사 학위

1727년: 상트페테르부르크 과학 아카데미에서 초청을 받아 러시아로 이주

1730년: 상트페테르부르크 과학 아카데미의 자연철학 교수로 임명됨

1733년: 의사이자 물리학자인 요한 알브레히트 데 라 프랑스와 결혼

1736년: 유체역학에 관한 논문 "Mechanica" 출판, 유체의 운동에 대한 수학적 분석을 확립

1738년: "Hydrodynamica" 출판, 유체의 흐름에 관한 중요한 연구 결과를 발표

1741년: 프로이센의 프리드리히 대왕의 초청을 받아 베를린 아카데미로 이동

1744년: 미적분학의 기초가 된 논문 "Introductio in analysin infinitorum" 출판, 함수 개념 확립

1755년: 베를린에서 "Institutiones calculi differentialis" 출판, 미분방정식 이론을 확립

1757년: "Institutiones calculi integralis" 출판, 적분 계산의 이론을 다룸.

1762년: "Lettres à une princesse d'Allemagne" 출판, 과학과 철학을 쉽게 설명한 편지 형식의 저서.

1766년: 상트페테르부르크로 돌아와 아카데미에서 활동을 재개

1770년: "Elements of Algebra" 출판, 대수학의 기본 교과서가 됨

1771년: 상트페테르부르크에서 큰 화재로 인해 시력 상실

1772년: 그래프 이론의 기초를 다진 "Konigsberg의 다리 문제"에 관한 논문 발표

1775년: 백내장 수술을 받았으나 회복되지 않음

1781년: 행렬과 행렬식을 연구한 논문 발표.

1783년 9월 18일: 상트페테르부르크에서 사망

 

오일러의 해석학

 

레온하르트 오일러는 해석학 분야에서 매우 중요한 기여를 했으며, 그의 연구는 오늘날 현대 해석학의 기초를 형성했습니다. 다음은 오일러가 해석학에서 다룬 주요 내용을 나열한 것입니다.

 

▷ 함수 개념: 오일러는 함수의 개념을 확립하고 이를 수학의 중심 개념으로 만들었습니다. 그는 함수 f(x)를 독립 변수 x에 종속된 값으로 정의했습니다.

 

▷ 무한급수와 급수의 수렴: 오일러는 무한급수의 수렴과 발산을 연구하였으며, π²/6와 같은 급수의 합을 구하는 방법을 개발했습니다. 예를 들어, 오일러는 다음과 같은 무한급수의 합을 구했습니다.

 

1+14+19+116+⋯  ≒ π²/6

 

▷ 해석적 수론 :  오일러는 해석적 수론의 기초를 닦았으며, 리만 제타 함수와 관련된 연구를 통해 수론과 해석학을 결합했습니다. 특히, 오일러는 제타 함수 ζ(s)를 다음과 같이 정의했습니다.

 

ζ(s) = ∑_n=1^∞ (1/n^s)

 

▷ 미적분학: 오일러는 미분과 적분의 기초를 확립하고 이를 체계적으로 발전시켰습니다. 그의 저서 "Introductio in analysin infinitorum"은 미적분학의 중요한 기초를 다루고 있습니다. 미분방정식의 해법과 특수 함수의 이론을 발전시켰으며, 오일러-라그랑주 방정식을 통해 변분법을 개척했습니다.

 

▷ 복소수와 복소해석학 : 오일러는 복소수를 연구하고 복소수의 기초를 다졌습니다. 특히 오일러 공식

 

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

 

은 복소해석학의 중요한 성과 중 하나입니다.

 

▷ 푸리에 급수: 오일러는 주기 함수의 표현으로서 푸리에 급수를 연구했습니다. 그는 다양한 주기 함수들을 삼각 함수의 급수로 표현하는 방법을 발전시켰습니다.

 

▷ 베르누이 수와 다항식: 오일러는 베르누이 수와 다항식을 연구하여 많은 해석적 문제를 해결했습니다. 베르누이 수는 급수의 합과 관련된 중요한 도구로 사용됩니다.

 

▷ 오일러-마클로린 공식: 이 공식은 급수의 합과 적분 사이의 관계를 나타내는 중요한 도구로, 해석학에서 널리 사용됩니다.

 

이 외에도 오일러는 해석학에서 다양한 문제를 해결하고 이론을 정립하여 수학의 여러 분야에 큰 영향을 미쳤습니다. 그의 연구는 현대 수학의 많은 부분에 깊이 뿌리내리고 있습니다.

 

오일러의 해석학: 자연로그 e

 

오일러는 e라는 상수를 도입하여 자연로그의 밑(base)을 정의하였는데 무한급수로 처음으로 계산되었고 미적분학과 지수 함수에 활용됩니다. 처음으로 e가 언급된 것은 17세기에 존 네이피어 등이 로그를 개발하면서 복리 계산과 로그함수의 연구로 e를 근사적으로 사용했습니다. 하지만 중요성이나 의미를 완전히 파악하지는 못했습니다. 1736년, 오일러는 e를 명확히 정의하고 자신의 저서에서 e를 다음 방식으로 정의합니다.

 

e = lim_n→∞(1 + 1/n)ⁿ

 

이 정의를 쉽게 설명해 보겠습니다.

 

▷ 기본 개념: 이 식에서 n은 무한대로 커지는 자연수입니다. 식의 형태는 (1+1/n)ⁿ으로, n이 커질수록 이 값이 e에 점점 더 가까워집니다.

 

▷ 예시: 작은 값으로 직접 계산해보면 n이 커질수록 값이 어떻게 변화하는지 이해하기 쉽습니다. 예를 들어,

 

n=1일 때: (1+1/1)¹=2

n=2일 때: (1+1/2)²=2.25

n=10일 때: (1+1/10)¹⁰≈2.5937

n=100일 때: (1+1/100)¹⁰⁰≈2.7048

n=1000일 때: (1+1/1000)¹⁰⁰⁰≈2.7169

n이 커질수록 이 값은 점점 e≈2.71828에 가까워집니다.

 

▷ 무한대로 가는 과정: n이 무한대로 갈 때, 1/n은 점점 0에 가까워지지만, n의 거듭제곱은 매우 커집니다. 이 두 효과가 균형을 이루어 e라는 상수로 수렴합니다.

 

▷ 실생활의 예

복리 계산에서 이 개념을 사용할 수 있습니다. 예를 들어, 연이율이 100%인 투자에서 원금이 1달러인 경우, n번의 이자 계산 후의 값은 (1+1/n)ⁿ이 됩니다. n이 무한대로 커지면, 이 값은 e에 가까워지며, 이는 이자가 계속 복리로 계산될 때의 최종 금액을 의미합니다.

 

오일러의 해석학: 오일러 공식

 

그는 e를 활용하여 자연로그를 발전시키는 과정에서 지수 함수와 로그 함수의 많은 성질을 발견하였습니다. 그 중 유명한 것이 e를 사용하여 복소수 지수 함수를 정의한 오일러 공식입니다.

 

오일러의 공식: 오일러 공식에 '오일러'가 들어간 이유👆️

 

관련된 해석으로 "오일러의 공식: 오일러 공식에 '오일러'가 들어간 이유"라는 별도의 블로그에서 다루었습니다.

 

e^iθ = cos(θ) + i sin(θ)

 

복소수의 지수 함수를 삼각함수로 정의한 이 식은 파동 방정식, 양자역학, 전기공학 등 거의 모든 과학 연구에서 활용됩니다. e의 쓰임새를 몇 가지 알아 보겠습니다.

첫째, 연속 복리 계산에서 투자 금액이 연속적으로 이자가 적용될 때 이자 포함 최종 금액은 다음 공식으로 계산됩니다. S는 원금, r은 연금리, t는 시간(년)입니다.

 

S = P⋅e^rt

 

둘째, 생물학에서 e는 인구 성장, 방사성 물질의 붕괴, 자연적인 성장 및 감소를 모델링하는데 사용됩니다. 박테리아의 개체 성장을 다음과 같이 모델링할 수 있습니다.

 

N(t) = N₀⋅e^kt

 

여기서 N₀은 초기 개체 수,k는 성장률,t는 시간입니다.

 

셋째, 복소수 지수 함수를 사용하여 전기공학에서 전자기파, 음파 등은 간단한 파동 식으로 표현됩니다.

 

f(t) = A⋅e^i(ωt+ϕ)

 

여기서 A는 진폭, ω는 각주파수, ϕ는 위상입니다.

 

오일러의 수론

 

수학 분야의 다양한 분야에서 두각을 나타낸 오일러가 수론에 있어서도 예외는 아닌데 정수론의 중요한 정리를 개발하고 증명하였습니다. 오일러 페르마 정리와 파이함수에 한정하여 다루지만 소수에 대한 연구와 이차 잉여도 향후 함께 다루도록 하겠습니다.

 

페르마의 소정리는 소수 p와 p와 서로 소인 어떤 정수 a에 대해 다음이 성립합니다.

 

aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)

 

의미는 a를 p −1번 곱한 수를 p로 나눈 나머지가 1이 된다는 것을 의미합니다.

오일러는 페르마의 소정리를 모든 정수 n으로 확장한 오일러 페르마 정리를 제시했습니다. 이 정리는 n과 서로 소인 어떤 정수 a는 다음과 같습니다.

 

a^{ϕ( n)} ≡ 1 (mod n)

 

여기서 ϕ(n)은 오일러의 토션트 함수로 1부터 n까지의 정수 중 n과 서로 소인 수의 개수입니다. ϕ>(n)는 n보다 작거나 같은 양의 정수 중에서 n과 서로 소인 정수의 수를 계산합니다. 예로 n>=10, a>=3인 경우를 고려해 보겠습니다.

먼저,  토션트 함수 를 계산하면 ϕ(10)을 계산하면 10과 서로 소인 수는 1, 3, 7, 9이고 ϕ(10)=4입니다.

 

a^ϕ(n) = 3⁴ = 81

 

81/10 = 8.1이므로 나머지는 1. 즉, 3⁴ ≡ 1 (mod 10)이 성립합니다. 결론으로 오일러 페르마 정리가 성립합니다. 이 정리의 몇 가지 용도 중에는 큰 수를 다루는 프로그램에서 효율적 연산 처리에 사용하여 컴퓨터는 수학적 연산의 부담을 줄입니다.

 

오일러의 다양한 자료는 거의 모두 라틴어로 작성되어 영어로 번역하는 것도 큰 작업의 하나입니다. 현재도 진행되고 있습니다. 그 중 일부로서 에드 샌디퍼(Ed Sandifer)가 작성한 "How Euler Did It" 시리즈 중 하나로, 2003년 11월호의 "페르마의 소정리(Fermat’s Little Theorem)"에 대한 내용을 담고 있습니다. 이 문서는 레온하르트 오일러가 페르마의 소정리와 그 확장인 오일러-페르마 정리를 어떻게 다루었는지 설명합니다. 아래는 주요 골자는 다음과 같습니다.

 

How Euler Did It 시리즈의 HEDI-2003-11.pdf

0.26MB

 

▶ 페르마의 소정리: 페르마의 소정리는 p가 소수이고 p가 a의 배수가 아니면 a^p-1 ≡ 1(mod p)가 성립한다는 정리입니다. 이 정리는 레온하르트 오일러에 의해 일반화되어 오일러-페르마 정리가 되었으며, 여기서는 n과 a가 서로 소일 때, a^ϕ(n) ≡ 1 (mod n) 이 성립합니다. 여기서 ϕ(n)은 오일러 피 함수로, n보다 작은 수 중 n과 서로 소인 수의 개수를 나타냅니다.

 

▶ 역사적 배경: 페르마는 이 정리를 처음 발견했으나, 이를 증명하지 않았습니다. 오일러는 최초로 이 정리를 출판한 사람 중 하나입니다. 오일러는 40년에 걸쳐 여러 번에 걸쳐 이 정리의 다양한 증명을 출판했습니다.

 

▶ 오일러의 증명: 오일러는 1729년부터 시작하여 여러 증명을 통해 페르마의 소정리와 그 확장을 다루었습니다. 위 PDF는 오일러의 첫 번째 증명 과정과 그 방법론을 자세히 설명합니다. 오일러는 수학적 귀납법을 사용하여 증명을 진행했으며, 각 증명 단계마다 명확한 설명과 함께 여러 레마(부정리)를 사용하여 독자들이 이해할 수 있도록 했습니다.

 

▶ 오일러의 공헌: 오일러는 수학적 귀납법과 이항 계수 등 다양한 수학적 도구를 활용하여 페르마의 소정리를 증명했습니다. 그는 또한 a=2, a=3 등 특정 값에 대한 증명을 개별적으로 다루며 일반적인 경우로 확장했습니다.

 

▶ 기타 정보: 오일러는 그의 증명을 통해 많은 다른 정리들, 특히 오일러-페르마 정리와 관련된 특수 사례들을 제시했습니다. 오일러의 작업은 이후 수많은 수학자들에게 큰 영향을 미쳤으며, 그의 증명 방법론은 오늘날에도 많은 연구에서 활용되고 있습니다.

 

이 PDF는 오일러의 수학적 업적과 그의 증명 방법론을 깊이 있게 탐구하고 있으며, 그의 작업이 어떻게 현대 수학에 기여했는지를 보여줍니다. 더 자세한 내용은 위의 PDF 파일 전체를 참조하시기 바랍니다.

 

오일러 관련 자료 많은 곳

 

다음은 레온하르트 오일러와 관련된 연구소, 사진이 많은 곳, 논문이 있는 곳, 박물관 등에 대한 정보입니다.

 

▶ 오일러 아카이브 (Euler Archive): 오일러 아카이브는 오일러의 원작과 현대 학술 연구를 포함한 방대한 온라인 자료입니다. 디지털화된 출판물, 번역본, 최신 연구 자료 등을 제공합니다. 이 아카이브는 태평양 대학(University of the Pacific)에서 관리하고 있으며, 여기에서 접근할 수 있습니다​.

 

▶ 바젤 대학교의 베르누이-오일러 센터 (Bernoulli-Euler Center): 이 센터는 베르누이 가문과 오일러의 수학적 영향에 관한 학제 간 연구를 집중적으로 다룹니다. 여러 에디션 프로젝트를 통합하고 오일러의 수학적 기여를 보존하고 연구합니다. 공식 웹사이트는 여기입니다​.

 

▶ 하버드 아트 뮤지엄 아카이브 (Harvard Art Museums Archives): 하버드 아트 뮤지엄 아카이브는 수학 및 과학 연구와 관련된 중요한 역사적 문서들을 보유하고 있습니다. 연구원들은 사전 예약을 통해 이 자료들을 이용할 수 있습니다. 자세한 정보는 여기에서 확인할 수 있습니다​.

 

이 자료들이 오일러와 관련된 다양한 연구와 정보를 찾는 데 도움이 되기를 바랍니다.

 

수학계의 베토벤, 오일러 업적 요약

 

오일러는 수학, 물리학, 천문학, 역학 등 다양한 분야에서 활약한 18세기의 거장으로 당대뿐만 아니라 현대 과학과 수학에도 영향을 주었습니다. 그가 저술한  800편 이상의 논문과 저서는 해석학, 수론, 기하학, 천문학, 유체역학 등 모든 과학분야를 포함합니다. 특히, 오일러의 가장 중요한 업적 중 하나는 해석학이며 함수의 개념, 무한급수, 지수함수, 로그함수, 삼각함수에 대한 현대적 기초를 마련했습니다. 오일러 공식은 자연로그(e),  복소수의 단위(i), 그리고 원주율(pi)을 사용한 복소수 해석학의 핵심입니다. 기하학 분야에서 오일러는 다면체 정리로 알려진 오일러의 공식, V - E + F = 2를 발견하였고 이 공식은 기하학뿐만 아니라 위상수학의 기초가 되는 공식으로 사용됩고 있습니다. 오일러는 뉴턴의 운동 법칙과 만유인력 법칙을 기반으로 달의 운동, 행성의 궤도 계산을 수행하였으며, 유체역학 분야에 오일러 방정식을 도입하여 유체 운동을 설명하는 기초를 마련했습니다. 그의 대표적 저서는 "Introductio in analysin infinitorum(무한 분석에 대한 소개)"이며  함수의 개념을 체계적으로 소개하고, 해석학 기초를 마련하였습니다. 또한, "Institutiones calculi differentialis(미분 계산의 기초)"에서는 미분 계산법을 체계적으로 다루었습니다. "Mechanica"는 역학의 기본 원리에 최초로 분석 방법을 적용하여 물체의 운동을 수학적으로 분석하였습니다. 오일러의 기하학적 발견으로 원과 관련된 문제에서 임의의 삼각형에 대해, 삼각형의 외심, 내심, 무게중심이 일직선 위에 위치한다는 "오일러 선"은 중요한 기하학적 발견입니다. 또한, 오일러는 거의 실명 상태에서도 수학 연구를 계속하였으며 복잡한 수학 계산을 생각으로 수행하였다고 합니다.

역사적 인물

총정리