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스토크스 법칙은 점성 유체 내에서 작은 입자가 낙하할 때, 일정한 속도에 도달하는 과정을 설명하는 물리 법칙입니다. 특히, 유체의 점성(끈적함)과 입자의 크기, 밀도 차이가 낙하 속도에 미치는 영향을 수학적으로 분석하여, 일정 속도(종단 속도)에 도달하는 조건을 규명합니다. 이는 유체 역학과 재료 과학, 환경 공학 등에서 널리 응용되며, 입자의 크기나 유체의 점도를 측정하는데 유용합니다. 이 글에서는 스토크스 법칙을 이해하기 쉽게 설명하고, 종단 속도의 계산 과정을 단계별로 소개합니다.
1. 입자에 작용하는 힘
유체 내에서 낙하하는 구형 입자에 작용하는 주요 힘은 다음과 같습니다.
1. 중력에 의한 힘 (\( F_g \))
\[ F_g = \rho_s \cdot V_{\text{particle}} \cdot g \]
- \( \rho_s \): 입자의 밀도
- \( V_{\text{particle}} \): 입자의 부피
- \( g \): 중력 가속도 (약 \(9.8 \, \text{m/s}^2\))
구형 입자의 부피는 \( \frac{4}{3} \pi r^3 \)이므로, 중력에 의한 힘은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
\[ F_g = \rho_s \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g \]
2. 부력 (\( F_b \))
부력은 입자가 유체를 밀어낼 때 생기는 힘입니다. 부력의 크기는 입자와 같은 부피의 유체가 가지는 무게와 같습니다.
\[ F_b = \rho_l \cdot V_{\text{particle}} \cdot g = \rho_l \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g \]
- \( \rho_l \): 유체의 밀도
3. 유체 저항력 (\( F_d \))
유체 저항력은 유체의 점도에 의해 발생하는 힘으로, 스토크스 법칙에 의해 다음과 같이 주어집니다.
\[ F_d = 6 \pi \eta r v \]
- \( \eta \): 유체의 점도
- \( r \): 입자의 반지름
- \( v \): 입자의 속도 (낙하 속도)
2. 힘의 균형 설정
종단 속도에서는 중력에 의한 힘이 부력과 유체 저항력의 합과 같아야 합니다. 따라서, 다음과 같은 힘의 균형 방정식을 세울 수 있습니다.
\[ F_g = F_b + F_d \]
이를 풀어 쓰면,
\[ \rho_s \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g = \rho_l \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g + 6 \pi \eta r v \]
3. 종단 속도 v에 대한 식 정리
위 식에서 \( \frac{4}{3} \pi r^3 g \)를 공통 인수로 묶어줍니다.
\[ \left( \rho_s - \rho_l \right) \frac{4}{3} \pi r^3 g = 6 \pi \eta r v \]
이제 \( v \)에 대해 정리해 봅시다.
\[ v = \frac{\left( \rho_s - \rho_l \right) \frac{4}{3} \pi r^3 g}{6 \pi \eta r} \]
4. 최종 식 단순화
\( \pi \)와 \( r \)을 약분하여 종단 속도 \( v \)에 대한 최종 공식을 얻습니다.
\[ v = \frac{2 r^2 (\rho_s - \rho_l) g}{9 \eta} \]
종단 속도 공식
따라서, 종단 속도 \( v \)는 다음과 같습니다.
\[ v = \frac{2 r^2 (\rho_s - \rho_l) g}{9 \eta} \]
해석
- \( r \): 입자의 반지름이 클수록 종단 속도는 더 빨라집니다.
- \( \rho_s - \rho_l \): 입자와 유체의 밀도 차이가 클수록 더 빨리 가라앉습니다.
- \( \eta \): 유체의 점도가 높을수록 입자는 더 천천히 떨어집니다.
이 공식을 통해 유체 속에서 구형 입자의 낙하 속도와 유체의 특성 간의 관계를 이해할 수 있습니다.